NOMBRE DE LA MATERIA: Matemáticas Avanzadas en Ingeniería Química I

CODIGO DE LA MATERIA: IQ501

DEPARTAMENTO: Ingeniería Química

CARGA TOTAL DE HORAS TEORICAS: 80

CARGA TOTAL DE HORAS: 80

NUMERO DE CREDITOS: 11

NIVEL DE FORMACION: Posgrado

TIPO DE CURSO: Curso

PREREQUISITOS:

 

OBJETIVO GENERAL

 

El objetivo general de este curso es proporcionar los elementos y herramientas matemáticas necesarias derivadas de la teoría de espacios lineales y de operadores lineales, para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que se generan en problemas de la Física Matemática y en las diferentes ramas de la ingeniería.

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 

a)     Identificar aquellos problemas de la Física y de las diferentes ramas de la ingeniería que pueden ser convertidos en sistemas de ecuaciones algebraicas o de ecuaciones diferenciales ordinarias.

b)    Aprender los métodos de solución de sistemas de ecuaciones algebraicas y de sistemas de ecuaciones ordinarias lineales, tanto analíticos como numéricos.

c)     Proporcionar las herramientas matemáticas para identificar aquellos problemas que tengan solución única o múltiples o bien que no tienen solución, usando los criterios del álgebra lineal.

 

CONTENIDO TEMATICO

 

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN (1 hora).

 

UNIDAD 2. DETERMINANTES (4 horas).

 

2.1  Definición de matrices.

2.2  Definición de determinante.

2.3  Propiedades elementales de determinantes.

2.4  Expansión por menores y cofactores.

2.5  Regla de Cramer.

2.6  Diferenciación e integración de determinantes

2.7  Rango y menores de matrices.

 

 

 

 

 

UNIDAD 3. VECTORES Y MATRICES (4 horas).

 

3.1  Adición y multiplicación.

3.2  La matriz inversa.

3.3  Las matrices transpuesta y adjugada

3.4  Partición y diferenciación de matrices.

3.5  Espacios vectoriales lineales.

 

UNIDAD 4. SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES (8 horas).

 

4.1  Eliminación de Gauss simple.

4.2  Eliminación de Gauss con pivoteo.

4.3  Cálculo de la matriz inversa.

4.4  Descomposición LU

4.5  Matrices bandeadas.

4.6  Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR

 

UNIDAD 5. TEORIA GENERAL DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES (8 horas).

 

5.1  Teorema de Silvestre y determinantes de productos de matrices.

5.2  Transformación de Gauss-Jordan de una matriz.

5.3  Teorema general de solución de Ax = b.

5.4  Dependencia lineal de un conjunto de vectores.

5.5  El teorema alternativo de Fredholm.

 

UNIDAD 6. EL PROBLEMA DE EIGENVALORES (12 horas).

 

6.1  Operadores lineales en un espacio vectorial lineal normado.

6.2  Conjuntos base en un espacio vectorial lineal normado.

6.3  Análisis de eigenvalores.

6.4  Algunas propiedades especiales de eigenvectores.

6.5  Cálculo de eigenvalores.

 

UNIDAD 7. MATRICES PERFECTAS Y DEFECTIVAS (16 horas).

 

7.1     Implicaciones del teorema de resolución espectral.

7.2     Diagonalización por una transformación similar.

7.3     Matrices con eigenvalores distintos.

7.4     Matrices unitarias y ortogonales.

7.5     Teorema de semi-diagonalización.

7.6     Matrices auto-adjuntas.

7.7     Matrices normales.

7.8     El teorema de Hamilton-Cayley y al fórmula de Silvestre.

7.9     Rango de matrices características.

7.10  Matrices bloque de Jordan diagonales.

7.11  La forma canónica de Jordan.

7.12  Determinación de eigenvectores generalizados.

7.13  El problema de valores iniciales.

 

UNIDAD 8. ESPACIOS VECTORIALES LINEALES DE DIMENSION INFINITA (7 horas).

 

8.1  Espacio dimensional infinito.

8.2  Integración de Riemann y de Lebesque.

8.3  Espacios con producto interno.

8.4  Espacios de Hilbert

8.5  Vectores base

8.6  Operadores Lineales

8.7  Operadores perfectos.

 

 

UNIDAD 9. TEORIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES (20  horas).

 

8.1 El problema de valores iniciales.

      8.1.1. Linealidad y superposición.

      8.1.2. El determinante Wronskiano.

      8.1.3. Ecuaciones no-homogéneas.

      8.1.4. El método de variación de parámetros.

      8.1.5. El operador inverso

      8.1.6. El operador adjunto.

 

8.2. El problema de valores en la frontera.

      8.2.1. La alternativa de Fredholm.

      8.2.2. Condiciones frontera.

      8.2.3. Problemas auto-adjuntos.

      8.1.4. Solución de ecuaciones homogéneas.

      8.1.5. Condiciones frontera no-homogéneas.

      8.1.6. Interpretación física de la función de Green.

 

8.3. El problema de eigenvalores.

      8.3.1. origen del problema de eiegenvalores.

      8.3.2. Operador general de segundo orden auti-adjunto.

      8.3.3. Ejemplos varios.

8.3.4. Expansiones de eigenfunciones y la transformada finita de Fourier.

8.3.5. Solución de problemas de valores en la frontera mediante la transformada finita de Fourier.

 

 

 

 

BIBLIOGRAFIA.

 

1.     H.T. Davis, K.F. Thomson, Linear Álgebra and Linear Operators in Engineering, Academic Press, New York (2000).

2.     A. Varma, M. Morbidelli, Mathematical Methods in Chemical Engineering, Oxford University Press, New York-Oxford (1997).

3.     Naylor, A.W. and G.R Sell. Linear Operator Theory in Engineering and Science.  Holt, Reinhart and Winston. (1971)

4.     Noble, B. y J.W. Daniel. Algebra Lineal Aplicada. 3a. Edición.  Prentice Hall Hispanoamericana (1989).

5.     Amundson, N.R. Mathematical Methods in Chemical Engineering: Matrices and Their Applications. Prentice Hall (1966).

 

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

 

1.     Bellman, R. Introduction to Matrix Analysis. SIAM´s Classics in Applied Mathematics.  SIAM (1995).

2.     Shilov, E. Introduction to the Theory of Linear Spaces. Academic Press (1970).

3.     Amundson, N.R. and R. Ramkrishna. Linear Operator Theory in Chemical Engineering.  Prentice Hall (1991).

4.     Forsythe, G.E. and C.B Moler. Computer Solution of Linear Algebraic Systems  Prentice Hall (1967).

5.     Strang, L. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. Interamericana (1989).

 

 

MODALIDADES DEL PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE.

El profesor imparte este curso desarrollando las ideas básicas en el pizarrón auxiliándose de la computadora, acetatos y filminas. El alumno tendrá que resolver tareas periódicas en donde se evalúa el progreso del mismo.

 

CAMPO DE APLICACION PROFESIONAL.

 

CONOCIMIENTOS, APTITUDES, ACTITUDES, VALORES, CAPACIDADES Y HABILIDADES DEL ALUMNO.

El alumno desarrollará las habilidades para resolver un gran número de problemas que se puedan representar utilizando vectores y matrices.

 

MODALIDADES DE EVALUACION.

El aprendizaje de la materia se evaluará de la siguiente forma:

 

Tareas 0.50

Exámenes parciales 0.40

Análisis de artículos 0.10