NOMBRE DE LA MATERIA: Álgebra lineal computacional
CÓDIGO DE LA MATERIA: MAT 602
DEPARTAMENTO: Ingeniería química.
CARGA TOTAL DE HORAS TEORÍA: 60 horas
TOTAL DE HORAS: 60 horas
NÚMERO DE CRÉDITOS: 8 créditos
NIVEL DE FORMACIÓN: Posgrado
TIPO DE CURSO: Curso
PRERREQUISITOS:

 

OBJETIVO GENERAL:

Familiarizar al estudiante con las técnicas básicas del álgebra matricial numérica.

OBJETIVOS ESPECíFICOS:

a). El alumno será capaz de comprender los algoritmos del álgebra lineal computacional en terminos de la teoría del álgebra matricial.

b). El alumno será capaz de determinar el costo computacional de un algoritmo en terminos de número de operaciones de punto flotante.

c). El alumno comprenderá las bases de la estimación del error y de la estabilidad de un algoritmo.

d). El alumno dominará las transformaciones básicas del álgebra lineal, los métodos directos de solución del problema lineal Ax=b, y su impletanción computacional.

e). El alumno será capaz de implementar algoritmos para la resolución de problemas de ortogonalización y de mínimos cuadrados.

e). El alumno será capaz de implementar algoritmos básicos de solución iterativa del problema Ax=b.

 

CONTENIDO TEMÁTICO:

PARTE I. BASES TEORICAS DEL ALGEBRA MATRICIAL (9 HRS.)

UNIDAD I. FUNDAMENTOS DE ALGEBRA MATRICIAL (9 HRS.)
1.1. Vectores y matrices (1 hrs.)
1.2. Definiciones y notación
1.3. Multiplicación por un escalar
1.4. Suma y producto de matrices
1.5. Transportación
1.6. Matriz identidad
1.7. Definición de inversa; singularidad y no singularidad
1.8. Definición de determinante y propiedades
1.9. Producto externo
Producto interno
Fórmula de Sherman-Morrison

Independencia, ortogonalidad, subespacios (1 1/2 hrs.)
Independencia y dependencia lineal
Definición de subespacio; dimensión de un subespacio
Subespacio rango, subespacio nulo y rango de una matriz
Complemento ortogonal de un subespacio
Bases ortogonales

Matrices especiales (Definición soilamente,1/2 hr.)
Definición de matriz diagonal, tridiagonal, bidiagonal superior (inferior), triangular superior (inferior), estrictamente triangular superior (inferior), Hessenbeerg superior, triangular unitaria.
Matriz rala (sparse), simétrica, antisimétrica, positiva definida, no                                         negativa definida, indefinida, ortogonal, nilpotente, idempotente, positiva,                                         no-negativa, dominante diagonalmente, de permutación.
Matriz en Bloques
Matriz conjugada transpuesta
Producto interno complejo
Matriz unitaria y matriz Hermitiana

UNIDAD II. MEDIDA DE VECTORES, MATRICES, SUBESPACIOS           Y SENSITIVIDAD DE SISTEMAS LINEALES (6 HRS)

Normas de vectores (1 hr.)
Propiedades de normas en R^n
Mormas de H'ólder
Desigualdad de H'ólder
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Equivalencia de normas
Error absoluto y error relativo

Normas de matrices (1 hr.)
Morma de Frobenius
p-normas

Descomposición en valores singulares (2 hrs.)
Teorema de la descomposición en valores singulares SVD
Vectores singulares izquierdo y derecho
Valores singulares como lomgitudes de ejes de un hiperelipsoide
Relación entre el rango de una matriz y sus valores singulares

Proyecciones ortogonales y la descomposición C-S (1 hr.)
Definición de proyección ortogonal
Proyecciones ortogonales asociadas con SVD
Decomposición C-S; diagonalización simultánea de los bloques de una matriz ortogonal

Sensitividad de sistemas lineales cuadrados (1 hr.)
Sensitivad y SVD; perturbaciones
Número de condicionamiento de una matriz
Buen y mal condicionamiento de una matriz; dependencia de la norma                                        usada.

PARTE II. ALGEBRA MATRICIAL NUMERICA (45 HRS)

UNIDAD I. FUNDAMENTOS (6 HRS.)

Algoritmos matriciales (1 hr)
Notación
Pseudocódigo
Conteo de operaciones; concepto de flop (floating point operation)

Errores de redondeo (2 hrs.)
Número de puntos flotante, y los cuatro enteros que los caracteriza:
Base de la máquina, B
Precisión, t
Límite de rebosamiento (overflow), U
Límite de almacenable inferior (underflow), L
Aritmética de redondeo y de truncamiento
Efecto en las operaciones aisladas
Efecto en cálculos matriciales

Transformaciones de Householder (1 hr)
Definición y propiedades de la reflexión de Householder
Algoritmos, mejoras, conteo de operaciones (flops)

Transformaciones de Givens (1 hr.)
Definición y propiedades de la rotación de Givens
Algoritmo.
Propagación de errores en transformaciones de Householder y Givens.

Transformaciones de Gauss (1 hr.)
Definición y propiedades de las transformaciones de Gauss o                                         elementales
Algoritmo

UNIDAD II. ELIMINACION GAUSIANA (6 HRS.)
Sistemas triangulares (1/2 hr.)
Algoritmo de la sustitución hacia adelante
Algoritmo de la sustitución hacia atrás

Cálculo de la Descomposición L-U (1 1/2 hrs.)
Teorema de la descomposició L-U
Algoritmo simple de Eliminación Gausiana

Análisis del error de redondeo en la eliminación gaussiana (1/2 hr.)
Cotas ideales de error para el problema Ax=b
Cotas de error para la eliminación Gaussiana

Pivoteo (1 1/2 hrs.)
Necesidad del pivoteo
Algoritmo de eliminación Gaussiana con pivoteo completo; su                                         estabilidad
Algoritmo de eliminación Gaussiana con pivoteo parcial; su estabilidad

Estimando y mejorando la exactitud (2 hrs)
Consideraciones Heurísticas
Escalamiento
Mejora iterativa
Estimación de condicionamiento

UNIDAD III. ORTOGONALIZACION Y METODOS DE MINIMOS CUADRADOS (24 HRS.)

Propiedades matemáticas del problema de mímimos cuadrados (6 hrs.)
Sistemas sobre determinados
Definición y propiedades de problema de mínimos cuadrados
Residuos
El problema de mínimos cuadrados y SVD
Pseudoinversas; condiciones de Penrose
Sensitividad del problema de mínimos cuadrados
Extensión del concepto de condicionamiento a matrices rectangulares
Algoritmo de las ecuaciones normales

Métodos de Householder y Gram-Schmidt (4 hrs.)
Mínimos cuadrados y factorización Q-R
Algoritmo de ortogonalización de Householder
Algoritmo de Gram-Schmidt clásico
Algoritmo de Gram-Schmidt modsificado

Método de Givens y método rápido de Givens ( 4 hrs.)
Algoritmo de ortogonalización de Givens
Algoritmo de ortogonalización rápida de Givens

Deficiencia de rango (4 hrs.)
Algortmo Q-R con pivoteo de columna
Descomposición ortogonal completa
Descomposición en valores singulares y deficiencia de rango

Ponderación y mejora iterativa (4 hrs.)
Ponderación de columnas
Ponderación de filas
Mínimos cuadrados generalizados
Mejoramiento iterativo

Sistemas cuadrados vs. sistemas subdeterminados ( 2 hrs.)
Comparación de metodos para sistemas cuadrados
Métodos basados en eliminación Gaussiana
Métodos basados en la factorización Q-R

UNIDAD IV. METODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEALES (9 HRS.)
Iteraciones clásicas (3 hrs.)
Iteraciones de Jacobi y de Gauss-Seidel; Propiedades
Algoritmo de Gauss-Seidel
Algoritmo de sobrerelajación sucesiva (SOR y SSOR)
Algoritmo simi-iterativo de Chevychev

Derivación y propiedades de método del gradiente conjugado (4 hrs.)
Minimización de funcionales; método del descenso más empinado
Convergencia del método del descenso más empinado
Mejoras de la estrategia de minimización
Algoritmos básicos del método del gradiente conjugado

Procedimientos prácticos de gradiente conjugado (2 hrs.)
Implementación practica del método del gradiente donjugado
Precondicionamiento
Elección de los precondicionadores

 

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

Texto recomendado:

Golub, G. H., Van Loan, Ch. F. 1989. Matrix Computations. Second Edition. Johns Hopkins University Press: Baltimore, USA.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

Burden, R.L., Douglas Faires, 1985. Análisis Mumérico. Grupo Editorial Iberoamérica.

Householder, A. S. 1964. The Theory of Matrices in Numerical Analisis. Blaisdell (republicado por Dover).

Matlab matrix softaware, The Math Works Inc., 158 Woodland St., Sherborn, MA.

Noble, B., Daniel, J. W. 1988. Algebra Lineal Aplicada. Prentice Hall Iberoamericana.

Strang, G. 1986. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. SITESA, Addison-Wesley Iberoamericana.

 

MODALIDADES DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE:

Las secciones teóricas deben cubrirse en forma somera pues son repaso de material cubierto en otras materias. Se sugiere dejar algunos temas para autoestudio y ejercicios. La suma total de horas de exposición deja tiempo para evaluaciones parciales (6 hrs.). Se recomienda estregar soluciones de tareas por escrito.
Los contenidos específicos, por supuesto, pueden ser adoptados por el profesor de la materia.
Se recomienda el uso del programa MATLAB en los ejercicios.

CAMPO DE APLICACIÓN PROFESIONAL:

CONOCIMIENTOS, APTITUDES, ACTITUDES, VALORES, CAPACIDADES Y HABILIDADES DEL ALUMNO:

MODALIDADES DE EVALUACIÓN:

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